Формула сложного процента: вывод и примеры с пополнением

Это справка с формулами. Зачем нужен сложный процент и как время влияет на результат, рассказано в статье «Сложный процент», здесь только математика: формулы, вывод и примеры. Ставка во всех расчётах условная, 10 % годовых, она нужна лишь для арифметики.

Обозначения

• P — начальная сумма, ₽.
• r — годовая ставка в долях (10 % = 0,10).
• n — срок в годах.
• m — число капитализаций в год (раз в год — 1, ежемесячно — 12).
• i — ставка за один период (например, r / 12 при ежемесячном расчёте).
• PMT — регулярное пополнение за период, ₽.
• FV — итоговая сумма в конце срока, ₽.

Формулы

1. Простой процент (проценты начисляются только на начальную сумму):

FV = P × (1 + r × n)

2. Сложный процент (проценты начисляются и на проценты, капитализация раз в год):

FV = P × (1 + r)^n

3. Капитализация m раз в год:

FV = P × (1 + r / m)^(m × n)

4. Пополнения в конце каждого периода (n здесь — число периодов):

FV = PMT × ((1 + i)^n − 1) / i

Если есть и начальная сумма, и пополнения, итог равен сумме двух частей: формула 3 для начального капитала плюс формула 4 для пополнений.

Вывод формулы сложного процента

Вывод простой: за каждый год сумма умножается на (1 + r). Для P = 100 000 ₽ и r = 10 %:

После первого года сумма умножена на (1 + r) один раз, после второго — два раза, после третьего — три. После n лет сумма умножена на (1 + r) ровно n раз, то есть P × (1 + r)^n. Формула 3 получается так же: период короче, множитель (1 + r / m), а периодов m × n.

Пять результатов

P = 100 000 ₽, r = 10 %, срок 10 лет:

Последняя строка — сумма второй части: 270 704,15 + 1 024 224,89 = 1 294 929,04 ₽. Из 1 294 929,04 ₽ собственных вложений было 100 000 + 5 000 × 120 = 700 000 ₽, остальное — проценты. Посчитать свой вариант можно в калькуляторе сложного процента.

Как считать в таблице

В Excel и Google-таблицах формулы записываются почти так же, как в справке. Для формулы 2 достаточно умножить начальную сумму на степень: начальная сумма, умноженная на (1 плюс ставка) в степени числа лет. Для пополнений есть готовая функция будущей стоимости: она принимает ставку за период, число периодов, величину платежа и начальную сумму. Платёж и начальную сумму в ней указывают со знаком минус, если считать их как вложенные деньги, тогда результат получается положительным. Следите, чтобы ставка и число периодов были в одних единицах: при ежемесячных пополнениях ставку делят на 12, а срок умножают на 12.

Как читать результат

Сравните первые две строки таблицы: простой процент даёт 200 000,00 ₽, сложный — 259 374,25 ₽, и разница в 59 374,25 ₽ целиком получена за счёт того, что проценты сами приносят проценты. Чем больше срок и ставка, тем эта разница заметнее. Сравните вторую и третью строки: при той же годовой ставке более частая капитализация добавляет ещё 11 329,90 ₽. Эффект есть, но он меньше, чем эффект самого срока. А четвёртая строка показывает, что при регулярных пополнениях основной вклад в итог вносят сами взносы, а не проценты на первоначальную сумму. Поэтому при выборе между «больше откладывать» и «искать ставку повыше» стоит посчитать оба варианта.

Ограничения формул

• Ставка постоянна. В реальности она меняется, и формула даёт только сценарий.
• Нет налогов и комиссий. Они уменьшают результат.
• Пополнения регулярны и равны. Пропущенные или разные взносы в формулу не укладываются.
• Нет инфляции. Чтобы оценить покупательную способность итога, смотрите «Реальная доходность».
• Пополнения в конце периода. Если взнос делается в начале, результат будет немного выше.

О том, как регулярно откладывать, — «Как накопить деньги».

Вывод

Все четыре формулы строятся на одной идее: сумма умножается на множитель периода столько раз, сколько периодов прошло. Простой процент растёт линейно, сложный — быстрее, и разница заметна на длинных сроках. Формулы дают арифметику при заданных допущениях, поэтому пользуйтесь ими как инструментом расчёта, а не обещанием результата.